Phương Trình Đường Tròn Lớp 10

     

Các dạng bài xích tập toán về phương trình con đường tròn là trong số những nội dung mà nhiều người cảm thấy "dễ thở hơn" vày nội dung cũng khá ví dụ và dễ hiểu, tuy vậy nội dung này cũng không thiếu thốn các bài bác tập khó nhằn đâu nhé.

Bạn đang xem: Phương trình đường tròn lớp 10


Vì vậy, trong nội dung bài viết này họ cùng khối hệ thống lại các dạng bài tập toán về phương trình đường tròn, áp dụng giải qua những ví dụ minh hoạ chũm thể, để từ đó những em dễ dãi vận dụng với phân loại khi gặp gỡ các dạng bài tập về đường tròn.


» Đừng quăng quật lỡ: Tổng hợp những dạng toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng cực hay

Đây cũng chính là nội dung nền tảng cho kiến thức và kỹ năng về mặt mong trong không khí ở lớp 12, và trước lúc bắt tay vào giải các dạng bài tập đường tròn thì chúng ta phải nắm rõ được đặc điểm của con đường tròn qua phần lý thuyết.

I. định hướng về phương trình mặt đường tròn

1. Phương trình con đường tròn:

- Phương trình mặt đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R là: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

*
- trường hợp a2 + b2 - c > 0 thì phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của con đường tròn tâm I(a;b), buôn bán kính 
*

2. Phương trình tiếp con đường của con đường tròn

- mang đến điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn (C) trung ương I(a;b), tiếp tuyến tại M0 của (C) có phương trình:

 (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0

*
II. Các dạng bài bác tập phương trình đường tròn.

Dạng 1: nhấn dạng phương trình con đường tròn, tìm đk để 1 PT là phương trình con đường tròn

* Phương pháp:

+) biện pháp 1: Đưa phương trình đã đến về dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = p. (*)

 - Nếu phường > 0 thì (*) là PT con đường tròn trung khu I(a;b) và chào bán kính 

*

 - giả dụ P ≤ 0 thì (*) là KHÔNG là PT đường tròn.

+) phương pháp 2: Đưa phương trình đã cho về dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (**)

 ° Đặt p. = a2 + b2 - c 

 - Nếu p > 0 thì (**) là PT mặt đường tròn trung khu I(a;b) và bán kính

*

 - trường hợp P ≤ 0 thì (**) là KHÔNG là PT con đường tròn.

 Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào màn trình diễn phương trình đường tròn, tìm trọng tâm và nửa đường kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0

b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0

c) 2x2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0

* Lời giải:

a) x2 + y2 + 2x - 4y + 9 = 0,

- Ta gồm a = -1; b = 2; c = 9 nên a2 + b2 - c = (-1)2 + (2)2 - 9 = -4 2 + y2 - 6x + 4y + 13 = 0,

- giống như có: a2 + b2 - c = (3)2 + (-2)2 - 13 = 0 2 + 2y2 - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x2 + y2 - 4x - 2y - 3 = 0

- tựa như có: a2 + b2 - c = (2)2 + (1)2 + 3 = 8 > 0, đó là phương trình đường tròn vai trung phong I(2;1) nửa đường kính R=2√2.

d) 5x2 + 4y2 + x - 4y + 1 = 0, phương trình này chưa hẳn pt con đường tròn vì thông số của x2 với y2 không giống nhau.

 Ví dụ 2: Cho mặt đường cong (Cm): x2 + y2 - 2mx - 4(m-2)y + 6 - m = 0

a) Tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn.

b) lúc (Cm) là pt con đường tròn kiếm tìm toạ độ chổ chính giữa và nửa đường kính theo m.

* Lời giải:

a) Để (Cm) là phương trình đường tròn thì: m2 +<2(m-2)>2 - (6 -m) > 0

⇔ m2 + 4m2 - 16m + 16 - 6 + m > 0

⇔ 5m2 - 15m + 10 > 0

⇔ m2 - 3m + 2 > 0

⇔ m 2

b) Với điều kiện trên thì (Cm) bao gồm tâm I và bán kính 

*

 Ví dụ 3: Cho (Cα): x2 + y2 - 2xcosα - 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kπ)

a) CMR (Cα) là đường tròn

b) Xác định α nhằm (Cα) có bán kính lớn nhất

c) search quỹ tính trung khu I của (Cα)

* Lời giải:

a) Để (Cα) là đường tròn thì : cos2α + sin2α - cos2α > 0

- Ta có; VT = cos2α + sin2α - cos2α = 1 - cos2α = 2sin2α > 0 (với α ≠ kπ)

- lưu lại ý: Nếu α = kπ con đường tròn là 1 trong những điểm.

b) Để (Cα) có bán kính lớn nhất:

- Ta có: R2 = 2sin2α ≤ 2 (do 0 ≤ sin2α ≤ 1)

 ⇒ Rmax = √2 lúc sinα = 1 ⇒ α = (π/2 + kπ).

c) Đường tròn Cα gồm toạ độ trọng điểm I(cosα; sinα) tức là: 

*
 khử α ta có: x2 + y2 = 1 đó là quỹ tích trung tâm I của Cα.

• Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

* Phương pháp:

° Cách 1: 

 - kiếm tìm toạ độ trọng điểm I(a;b) của con đường tròn (C)

 - Tìm bán kính R của (C)

 - Viết phương trình con đường tròn (C) dạng: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

° cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

 - Từ đk bài toán cho thiết lập cấu hình hệ pt 3 ẩn a, b, c

 - Giải hệ tra cứu a, b, c ráng vào pt con đường tròn (C).

Xem thêm: Tập Đọc: Chuyện Một Khu Vườn Nhỏ, Tập Đọc Lớp 5 Chuyện Một Khu Vườn Nhỏ

* lưu giữ ý: Đường tròn (C) đi qua điểm A, B thì IA2 = IB2 = R2 cùng thường được vận dụng vào câu hỏi yêu cầu viết phương trình con đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (chính là viết pt mặt đường tròn qua 3 điểm A, B, C).

 Ví dụ: Lập phương trình đường tròn (C) trong số trường hợp sau:

a) gồm tâm I(1;-3) và đi qua điểm O(0;0)

b) Có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

c) Đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

* Lời giải:

a) (C) có tâm I(1;-3) và trải qua điểm O(0;0):

- Ta bao gồm R = OI, mà 

*

⇒ Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính 

*
 có pt:

 (x - 1)2 + (y + 3)2 = 10

b) (C) có 2 lần bán kính AB với A(1;1), B(5,3).

- Ta tất cả toạ độ trung khu I của (C) là trung điểm A,B là:

 

*
 
*

- bán kính 

*

⇒ Đường tròn (C) bao gồm tâm I(3;2) và bán kính

*
 có pt:

(x - 3)2 + (y - 2)2 = 5

c) Đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(-1;3), B(3;5), C(4;-2)

- Goi (C) gồm dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.

- vì (C) đi qua A, B, C nên thay theo thứ tự toạ độ A, B, C vào pt đường tròn (C) ta bao gồm hệ sau:

 

*
 
*
*

- Giải hệ trên ta được 

*

⇒ Đường tròn (C) là: 

*

• Dạng 3: Viết phương trình mặt đường tròn tiếp xúc với mặt đường thẳng

* Phương pháp: phụ thuộc tính chất tiếp tuyến

- Đường tròn (C) xúc tiếp với đường thẳng (Δ) thì: d = R

- Đường tròn (C) xúc tiếp với đường thẳng (Δ) tại điểm A thì: d = IA = R

- Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) cùng (Δ2) thì: d = d = R

 Ví dụ 1: Lập phương trình con đường tròn (C) trong những trường hợp sau:

a) (C) tất cả tâm I(2;5) với tiếp xúc cùng với Ox

b) (C) tất cả tâm I(-1;2) cùng tiếp xúc với con đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

c) (C) trải qua A(2;-1) cùng tiếp xúc với 2 trục toạ độ Ox, Oy

* Lời giải:

a) (C) bao gồm tâm I(2;5) với tiếp xúc cùng với Ox

- Ox có phương trình: y = 0

- nửa đường kính R của mặt đường tròn là khoảng cách từ I mang đến Ox ta có:

 

*

⇒ Phương trình mặt đường tròn (C) bao gồm dạng: (x - 2)2 + (y - 5)2 = 25

b) (C) bao gồm tâm I(-1;2) với tiếp xúc với con đường thẳng (Δ): x + 2y - 8 = 0

- Ta có:

*
*

⇒ Phương trình đường tròn (C) tất cả dạng: (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5

c) (C) đi qua A(2;-1) với tiếp xúc cùng với 2 trục toạ độ Ox, Oy

- vày A nằm ở góc phần tư thứ tư yêu cầu đường tròn cũng nằm trong góc phần bốn thứ bốn này, đề nghị toạ độ trọng tâm I=(R;-R).

- Ta có:

*

⇔ R2 = R2 - 4R + 4 + R2 - 2R + 1

⇔ R2 - 6R + 5 = 0

⇔ R = 1 hoặc R = 5

⇒ Vậy gồm 2 đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán là:

 (C1): (x - 1)2 + (y + 1)2 = 1

 (C2): (x - 5)2 + (y + 5)2 = 25

 Ví dụ 2: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1): x + 2y - 3 = 0 và (d2): x + 3y - 5 = 0. Lập phương trình đường tròn có bán kính bằng R=√10 bao gồm tâm ở trong d1 với tiếp xúc với d2.

* Lời giải:

- trung tâm I ∈ d1 nên I(-2a+3;a) vì (C) tiếp xúc với d2 buộc phải ta có:

 

*
*

⇒ I1(19;-8) cùng I2(-21;12)

⇒ có 2 đường tròn thoả mãn điều kiện là:

 (C1): (x - 19)2 + (y + 8)2 = 10

 (C2): (x + 21)2 + (y - 12)2 = 10

 Ví dụ 3: Trong hệ toạ độ Oxy cho hai tuyến phố thẳng (d1): x + 2y - 8 = 0 cùng (d2): 2x + y + 5 = 0 . Viết phương trình con đường tròn có tâm nằm tại (d): x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc với (d1) và d2.

* Lời giải:

- Tâm I ∈ d nên I(2a-1;a) vì (C) xúc tiếp với (d1) với (d2) phải ta có:

*

*

*
*

⇒ Vậy tất cả 2 con đường tròn hợp ý điều kiện.

- với a = -12 thì I(-25;-12), 

*
 Phương trình mặt đường tròn (C1):

 

*
 

- Với 

*
 thì 
*
*
 Phương trình con đường tròn (C2):

 

*

• Dạng 4: Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác

* Phương pháp:

° biện pháp 1:

- Tính diện tích S và nửa chu vi p của tam giác nhằm tính được nửa đường kính đường tròn 

*

- gọi I(a;b) là trung tâm của mặt đường tròn nội tiếp thì khoảng cách từ I cho tới 3 cạnh của tam giác bằng nhau và bằng r, từ kia lập thành hệ pt với 2 ẩn a, b.

- Giải hệ phương trình ta kiếm được giá trị của a, b cùng phương trình mặt đường tròn.

° giải pháp 2:

- Viết phương trình đường phân giác trong của 2 góc trong tam giác.

- kiếm tìm giao điểm 2 mặt đường phân giác kia ta được tâm I của con đường tròn

- Tính khoảng cách từ I tới 1 cạnh bất kỳ của tam giác ta được bán kính.

 Ví dụ 1: Cho 2 điểm A(4;0) với B(0;3)

a) Viết phương trình mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

b) Viết phương trình con đường tròn nội tiếp tam giác OAB

* Lời giải:

a) Tam giác OAB vuông trên O đề nghị tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác tam giác OAB là trung điểm của cạnh huyền AB đề nghị tâm toạ độ trung khu I của con đường tròn nội tiếp là: I=(2;3/2).

⇒ phân phối kính: R = IA = 5/2

⇒ PT đường tròn nước ngoài tiếp tam giác OAB là: 

*

b) Ta vẫn tính diện tích s và nửa chu vi của OAB

- Ta gồm

*

- Nửa chu vi: 

*

⇒ 

*

- bởi vì đường tròn xúc tiếp với 2 trục toạ độ cần tâm Ir=(r;r)=(1;1)

⇒ Pt đường tròn là: (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1

 Ví dụ 2: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác ABC tạo bởi vì 3 đường thẳng:

 (d1): 4x - 3y - 65 = 0

 (d2): 7x - 24y + 55 = 0

 (d3): 3x + 4y - 5 = 0

* Lời giải:

- điện thoại tư vấn ABC là tam giác đã mang lại với những cạnh là:

 AB: 4x - 3y - 65 = 0

 BC: 7x - 24y + 55 = 0

 CA: 3x + 4y - 5 = 0

- Ta tính được A(11;-7), B(23;9), C(-1;2)

- Ta tất cả VTPT:

*
,
*
 

- dễ thấy tam giác vuông trên A do 

*

- Tính độ dài các cạnh ta có: AB = trăng tròn ; BC = 25; CA = 15

- diện tích s tam giác ABC: SABC = 150

- Nửa chu vi là: 

*

- nửa đường kính đường tròn nội tiếp là: r = S/P = 150/30 = 5.

Xem thêm: Top 3 Phần Mềm Ghi Lại Thao Tác Chuột Và Bàn Phím Đỉnh, Mouse And Keyboard Recorder

- Gọi bán kính đường tròn nội tiếp là I(a;b) thì khoảng cách từ I tới các đường thẳng vẫn cho hầu như là r=5 buộc phải ta có.