Giải toán 11 trang 132

     

Hướng dẫn giải bài bác §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng thích hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài tập đại số và giải tích bao gồm trong SGK để giúp đỡ các em học viên học tốt môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. số lượng giới hạn hữu hạn

Cho khoảng tầm (K) đựng điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng tầm ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ khi hàng số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng tầm ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Giới hạn vô cực

Sau đó là hai trong những nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta tất cả (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng chừng (K) chứa điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0) thì ta bao gồm (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi còn chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn đặc biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), nếu như (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , trường hợp (k) là số chẵn.

IV. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) và (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) giả dụ (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) cùng (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi còn chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

*

b) quy tắc tìm số lượng giới hạn của thương (fracf(x)g(x))

*

(Dấu của (g(x)) xét bên trên một khoảng tầm (K) làm sao đó đã tính giới hạn, với (x ≠ x_0) ).

Dưới đó là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài tập trong phần hoạt động của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 123 sgk Đại số với Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho phát triển thành x đông đảo giá trị không giống 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như vào bảng sau:

*

Khi đó, những giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số nhưng mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) chứng tỏ rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của dãy số (f(xn)).

2. Chứng tỏ rằng với dãy số bất kì xn, xn ≠ 1 cùng xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với đặc thù thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có số lượng giới hạn là 2 khi x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 127 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Trong biểu thức (1) xác minh hàm số $y = f(x)$ ở Ví dụ 4, phải thay $2$ ngay số nào nhằm hàm số có số lượng giới hạn là $-2$ khi $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) trên (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) tốt (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy cần thay (2) bằng ( – 7) để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 127 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ tất cả đồ thị như làm việc Hình 52

*

Quan tiếp giáp đồ thị và mang lại biết:

– Khi đổi thay $x$ dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

– Khi đổi mới $x$ dần tới âm vô cực, thì f(x) dần dần tới quý hiếm nào.

Trả lời:

– Khi vươn lên là $x$ dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới giá trị dương vô cực

– Khi biến chuyển $x$ dần dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần tới cực hiếm âm vô cực

Dưới đấy là phần trả lời giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11. Chúng ta hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

acsregistrars.vn trình làng với các bạn đầy đủ cách thức giải bài bác tập đại số với giải tích 11 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài xích §2. Giới hạn của hàm số vào Chương IV. Số lượng giới hạn cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài xích 1 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Dùng khái niệm tìm các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác minh trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) và ta gồm (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kỳ và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) và (x_n→ 4) lúc (n o + infty ).

Ta tất cả (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

Xem thêm: Trứng Gà Ấp Trứng Bao Nhiêu Ngày Nở, Gà Ấp Trứng Bao Nhiêu Ngày Thì Nở

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác minh trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là dãy số bất kỳ và (x_n→ +∞) lúc (n o + infty )

Ta gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài 2 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext ví như xge 0 hfill cr2x ext nếu như x 0) với (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài xích 3 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) với (∀x>0).

4. Giải bài bác 4 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta bao gồm (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) với ((x – 2)^2> 0) cùng với (∀x ≠ 2) cùng (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do đó (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta có (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) và (x – 1 0) với (∀x > 1) với (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài 5 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) gồm đồ thị như trên hình 53.

*

a) Quan ngay cạnh đồ thị cùng nêu dấn xét về quý hiếm hàm số đã mang đến khi (x → -∞), (x → 3^-) cùng (x → -3^+)

b) Kiểm tra những nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan gần cạnh đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) vì chưng (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) cùng (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) với (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài xích 6 trang 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài xích 7 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f). Call (d) và (d’) thứu tự là khoảng cách từ một đồ vật thật (AB) và từ ảnh (A’B’) của chính nó tới quang tâm (O) của thấu kính (h.54). Bí quyết thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

*

a) tra cứu biểu thức xác định hàm số (d’ = φ(d)).

b) tìm (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) và (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích ý nghĩa sâu sắc của các tác dụng tìm được.

Bài giải:

a) từ hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu vật dụng thật AB tiến dần về tiêu điểm F làm thế nào để cho d luôn lớn hơn f thì hình ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu vật dụng thật AB tiến dần dần về tiêu điểm F làm sao để cho d luôn nhỏ dại hơn f thì ảnh của nó dần dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Khi Tinh Trùng Gặp Trứng Có Biểu Hiện Gì, Bao Lâu Thì Thụ Thai

Ý nghĩa: Nếu vật dụng thật AB nghỉ ngơi xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó sinh sống ngay bên trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ với vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11!