Giải phương trình căn bậc 2

     

Căn thức (căn bậc 2, căn bậc 3) là nội dung kiến thức mà các em học tập ở ngay lập tức chương 1 đại số lớp 9, phần bài xích tập về căn thức cũng thường xuyên mở ra trong đề thi tuyển chọn sinh vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Giải phương trình căn bậc 2


Có nhiều dạng bài xích tập về căn thức như: rút gọn biểu thức, tính cực hiếm của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình,... Mặc dù nhiên, trong bài viết này bọn họ tập trung mày mò cách giải phương trình đựng dấu căn, qua đó áp dụng giải một trong những bài tập về phương trình đựng căn thức nhằm rèn luyện tài năng giải toán.

I. Kỹ năng và kiến thức cần nhớ lúc giải phương trình chứa dấu căn

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*

• 

*
 với e ≥ 0 là hằng số

i) trường hợp: 

*
 hoặc 
*
 thì:

+ bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ bước 2: Bình phương 2 vế phương trình nhằm khử căn.

+ cách 3: Giải phương trình nhằm tìm nghiệm x thỏa mãn nhu cầu điều kiện

* lấy ví dụ như 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1): Tìm x?

a) b) 

c) d)

° Lời giải:

a) (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b)  (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, lúc đó bình phương 2 vế ta có:

 

*

- Ta thấy x = 5/4 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 5/4.

c) (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi ấy ta bao gồm (ở bày này ta có thể rút gọn gàng hệ số trước khi bình phương 2 vế):

 

*

 

*
 
*

- Ta thấy x = 50 thỏa đk nên pt tất cả nghiệm x = 50.

d) (*)

- bởi (1 - x)2 ≥ 0 ∀x bắt buộc pt khẳng định với phần lớn giá trị của x.

 

*

*

→ Vậy phương trình tất cả 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* lấy một ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a)  b) 

*

° Lời giải:

a)  (*)

- Điều kiện: 

*

- khi đó bình phương 2 vế ta được:

*
 
*

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 50% không thỏa điều kiện này, đề xuất ta KHÔNG nhận nghiệm này. Tóm lại pt vô nghiệm.

ii) trường hợp:  (*) thì ta yêu cầu kiểm tra biểu thức f(x).

+) giả dụ f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 có nghĩa là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

 

*
*

+) Nếu  không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện quá trình sau:

- cách 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- cách 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- cách 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng phương pháp phân tích thành nhân tử đem về pt tích).

* ví dụ như 1: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x2 - 8x + 8 = 2(x2 - 4x + 4) = 2(x - 2)2 đề xuất ta có:

 

*

 

*
 
*

* ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x2 - 4x + 6 = x2 - 4x + 4 + 2 = (x - 2)2 + 2 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x2 - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)2 + 2 ≥ 0 ∀x phải biểu thức xác định với hầu hết giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)2 + 2 = 11 ⇔ (x - 2)2 = 9 

*

- Kết luận: Phương trình tất cả 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*

* phương pháp giải:

- cách 1: Viết đk của phương trình: 

*

- cách 2: nhấn dạng từng loại tương xứng với các cách giải sau:

 ¤ một số loại 1: nếu như f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 thì khai căn đem lại phương trình trị tuyệt vời để giải.

 ¤ nhiều loại 2: ví như f(x) = Ax ± B với g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ nhiều loại 3: trường hợp f(x) = Ax2 + Bx + C và g(x) = Ex ± D thì cần sử dụng phương pháp bình phương 2 vế.

 ¤ loại 4: giả dụ f(x) = Ax2 + Bx + C cùng g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử so với f(x) với g(x) thành nhân tử, nếu chúng nhân ái tử tầm thường thì đặt nhân tử chung mang đến phương trình tích.

- cách 3: khám nghiệm nghiệm tìm được có thỏa mãn điều khiếu nại không tiếp nối kết luận nghiệm của phương trình.

* ví dụ 1: Giải phương trình sau:

° Lời giải:

- Ta có:  

 

*

 

*

- Vậy phương trình vô nghiệm

* lấy ví dụ như 2: Giải phương trình sau:  (*)

° Lời giải:

- Ta có: 

 

*

- Vậy phương trình bao gồm vô số nghiệm x ≤ 3.

* lấy ví dụ như 3: Giải phương trình sau:

*
 

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

- Bình phương 2 vế ta được:

 2x - 3 = (x - 1)2 ⇔ 2x - 3 = x2 - 2x + 1

 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2.

Xem thêm: Máy Cắt Cỏ Tự Chế Máy Cắt Cỏ Chạy Điện, Máy Cắt Cỏ Chạy Điện 220V

- Đối chiếu với đk ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhấn nghiệm này.

- Phương trình tất cả nghiệm x = 2.

* ví dụ 4: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x2 - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)2 (và vế phải là dạng hàm bậc 1) bắt buộc để khử căn ta dùng cách thức bình phương 2 vế.

- Điều kiện: 

*
 khi đó ta bình phương 2 vế được:

*

*

- kiểm tra x = -10 có thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại không bằng cách thay quý hiếm này vào các biểu thức đk thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình cất dấu căn dạng: 

*
 

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện quá trình sau:

- bước 1: Nếu f(x) với h(x) tất cả chứa căn thì bắt buộc có đk biểu thức vào căn ≥ 0.

- bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị xuất xắc đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- cách 3: Xét dấu trị hoàn hảo nhất (khử trị tốt đối) để giải phương trình.

* ví dụ 1: Giải phương trình: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- khía cạnh khác, ta thấy: 

*
 và 
*
 nên ta có:

 

*
 (**)

- Ta xét những trường hợp nhằm phá vệt trị tốt đối:

+) TH1: Nếu 

*
, ta có:

 

*

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- dấn thấy: 

*

*

- Đến đây xét các trường đúng theo giải giống như ví dụ 1 sinh hoạt trên.

4. Giải pháp giải một số trong những phương trình cất căn khác.

i) phương pháp đặt ẩn phụ nhằm giải phương trình chứa dấu căn.

* lấy ví dụ 1: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

 Đặt

*
 khi kia ta tất cả pt (*) trở thành:

 

*

- cả hai nghiệm t rất nhiều thỏa đk nên ta có:

 

*

 

*

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em đã học nghỉ ngơi nội dung bài bác chương sau).

* lấy một ví dụ 2: Giải phương trình sau: 

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: 

*

 Đặt 

*
, khi ấy pt(*) trở thành:

 

*

- Ta thấy pt(**) bao gồm dạng sinh hoạt mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

 t2 + 5 = (5 - t)2 ⇔ t2 + 5 = t2 - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- cùng với t = 2 thỏa đk 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

*

→ Phương trình bao gồm nghiệm x = 6.

* lấy ví dụ 3: Giải phương trình sau:

*
 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x2 - 2x - 3 ≥ 0. Lúc ấy ta có:

*

 Đặt 

*
 khi kia pt(**) trở thành:

 

*

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

 Với t = 2 ⇒ x2 - 2x - 3 = 4 ⇔ x2 - 2x - 7 = 0 ⇔ (x2 - 2x + 1) - 8 = 0.

 

*

- đánh giá thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt tất cả 2 nghiệm. X = 1 ± 2√2.

Xem thêm: Mode Trong Điều Hoà Là Gì ? 4 Chế Độ Chính Của Điều Hòa 4 Chế Độ Chính Của Điều Hòa

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới vệt căn (lớn rộng hoặc nhỏ tuổi hơn 1 hằng số) nhằm giải phương trình cất căn thức.

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: 

*
 (với c,d>0 với c+d=e)

- PT có thể cho tức thì dạng này hoặc bao gồm thể bóc một thông số nào đó để sở hữu 2; 2 hay 2;