CHỨNG MINH ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC

     

TOÁN 8 – HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG.

Bạn đang xem: Chứng minh đường trung bình của tam giác

A. LÝ THUYẾT1. Đường trung bình của tam giác.

Định nghĩa : Đường vừa phải của tam giác là đoạn trực tiếp nối trung điểm của nhị cạnh của tam giác.

 

*

 Định lý 1.

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song cùng với cạnh thứ hai thì trải qua trung điểm của cạnh vật dụng ba.

 

Định lý 2.

Đường vừa đủ của tam giác thì tuy nhiên song cùng với cạnh thứ tía và bằng nửa cạnh ấy.

 

2. Cách chứng tỏ đoạn thẳng là mặt đường trung bình của tam giác.

Có 2 bí quyết : (hình minh họa làm việc trên)

Cách 1 : chứng tỏ D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC à DE là con đường trung bình của tam giác ABC.

Cách 2 : chứng tỏ D là trung điểm của AB với DE tuy vậy song với BC à DE là mặt đường trung bình của tam giác ABC.

 

3. Đường mức độ vừa phải của hình thang.

Định nghĩa : Đường vừa đủ của hình thang là đoạn trực tiếp nối trung điểm của hai lân cận của hình thang.

*

Định lý 3.

Đường thẳng đi trung điểm một lân cận của hình thang và tuy nhiên song với hai đáy thì đi qua trung điểm ở bên cạnh thứ hai.

 

Định lý 4.

Đường trung bình của hình thang thì tuy vậy song với nhì cạnh đáy và bởi nửa tổng nhì đáy.

 

4. Cách chứng minh đoạn thẳng là đường trung bình của hình thang.

Có 2 cách hội chứng minh.

Cách 1 : chứng minh E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC à EF là mặt đường trung bình của hình thang ABCD.

Cách 2 : chứng minh E là trung điểm của AD với EF // DC à EF là con đường trung bình của hình thang ABCD.

 

B. BÀI TẬP.

Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K theo vật dụng tự là trung điểm của AD, BC, AC.

a) so sánh độ nhiều năm EK cùng CD, KF với AB.


b) minh chứng rằng EF

 

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình.

- a) dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.

- b) phụ thuộc vào ý a) đã minh chứng + bất đẳng thức trong tam giác.

Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo lắp thêm tự là trung điểm của AD, BC, AC.

Chứng minh rằng :

a) EI // CD, IF // AB.

b) EF

Gợi ý : tựa như bài toán 1. 

Bài toán 3 : đến hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo trang bị tự là trung điểm của AD, BC, AC. Minh chứng rằng tía điểm E, I, F trực tiếp hàng.

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình.

- chứng minh EI // DC và FI // DC suy ra EI trùng FI suy ra ba điểm thẳng hàng.

 

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC, các trung tuyến đường BE cùng CD cắt nhau tại G. Gọi I, K theo thiết bị tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE tuy vậy song và bởi IK.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- dựa vào dữ khiếu nại đề bài bác cho + con đường trung bình trong tam giác.

Bài toán 5 : đến tam giác ABC, điểm D ở trong cạnh AC sao cho AD = DC. Hotline M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD với AM. Minh chứng rằng AI = IM.

Xem thêm: Tại Sao Nói “ Nước Mắt Cá Sấu Là Gì, Nước Mắt Cá Sấu

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.


- gọi O là trung điểm của DC. Đi chứng minh MO // DI. Chứng tỏ tiếp DI là đường trung bình của tam giác AMO.

 

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC, con đường trung tuyến đường AM. điện thoại tư vấn D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD cùng AC. Chứng tỏ rằng AE = EC.

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình.

- điện thoại tư vấn N là trung điểm của EC rồi chưng minh MN // ED.

- chứng tỏ DE là đường trung bình của tam giác AMN.

Bài toán 7 : mang lại tam giác ABC. Vẽ con đường cao AH. Call D, E theo lắp thêm tự là trung điểm của các cạnh AB cùng AC. Vẽ DI cùng EK thuộc vuông góc cùng với BC. Chứng minh rằng :

a) DI = EK.

b) IK = BC.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình minh họa.

- dựa vào đường trung bình minh chứng DI = 50% AH cùng EK = 1/2AH.

- I là trung điểm của BH, cùng K là trung điểm của HC. Dựa vào đó để hội chứng minh.

 

Bài toán 8 : Cho tam giác ABC. Điểm D, E trực thuộc cạnh AB sao để cho AD = DE = EB. Vẽ DG cùng EF song song cùng với BC.

a) chứng minh rằng AG = GF = FC.

b) cho DG = 5cm. Tính BC.

 

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- a) nhờ vào đường trung bình trong tam giác.

Bài toán 9 : Cho hình thang ABCD (AB// CD). Gọi E, F, I, K theo trang bị tự là trung điểm của AD, BC, AC, BD. Tính độ dài các đoạn trực tiếp EK, KI, IF biết AB = 18cm cùng CD = 12cm.


Gợi ý : dựa vào tính hóa học đường vừa đủ trong tam giác cùng hình thang.

Bài toán 10 : Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90o). điện thoại tư vấn M là trung điểm của BC. Minh chứng rằng tam giác MAD là tam giác cân.

Gợi ý :

- cách 1 : call N là trung điểm của AD, minh chứng MN vuông góc cùng với AD. Suy ra tam giác tất cả MN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến đề xuất là tam giác cân.

- cách 2 : call E là giao điểm của AM cùng DC. ABM = ECM suy ra AM = EM. Rồi ứng dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ADE để suy ra DM = AM.

Bài toán 11 : đến hình thang ABCD (AB // CD) gồm AB = a, CD = b. Bên trên AD đem hai điểm E, F thế nào cho AE = EF = FD, trên BC mang hai điểm M, N làm sao cho BM = MN = NC. Tính độ dài các đoạn EM, FN theo a cùng b.

Gợi ý : phụ thuộc đường mức độ vừa phải của hình thang.

Bài toán 12 : mang đến BD là đường trung tuyến đường của tam giác ABC. E là trung điểm của đoạn thẳng AD, F là trung điểm của đoạn thẳng DC, M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh BC. Chứng tỏ rằng ME // NF.

Gợi ý :

- ME cùng với BD như vậy nào? trên sao?


- NF cùng với BD ra sao ? tại sao?

Bài toán 13 : cho hình thang ABCD (AB //CD, AB chứng tỏ rằng : IK = (CD - AB).

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- chứng minh MK là con đường trung bình cuả tam giác ACD.

- chứng minh MI là mặt đường trung bình của tam giác ABD.

- IK = MK - MI.

Bài toán 14 : Cho tam giác ABC. điện thoại tư vấn M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia bố lấy điểm D sao cho BD = AB. Hotline K là giao điểm của DM với AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình bản thân họa.

- hotline N là trung điểm của AK.

- BN là đường trung bình của tam giác ADK suy BN//DK suy ra BN//MK.

- Đi chứng minh MK là con đường trung bình của tam giác BNC suy ra K là trung điểm của NC.

Xem thêm: Cách Làm Bắp Cải Phơi Khô - Hướng Dẫn Chế Biến Bắp Cải Sấy Khô

- Từ những dữ khiếu nại trên học sinh suy ra AK = 2KC.