BÀI TẬP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG

     

Tính diện tích hình phẳng là 1 trong những ứng dụng đặc trưng của tích phân trong công tác toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? những dạng bài tập tìm diện tích s hình phẳng? biện pháp tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới trên đây acsregistrars.vn để giúp đỡ bạn tổng hợp kỹ năng về chủ đề này nhé!


Mục lục

2 bí quyết tính diện tích s hình phẳng cơ bản3 công thức tính diện tích s hình phẳng nâng cao3.2 diện tích s hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng tương tự khoa học tập kĩ thuật thì bọn họ cần buộc phải tính diện tích của các hình phẳng phức tạp mà những công thức thông thường không thể giám sát được. Ví dụ: diện tích s của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt theo đường ngang của một mẫu sông… chính vì như vậy ta cần vận dụng tích phân để hoàn toàn có thể tính được diện tích của các hình phức tạp đó.

Bạn đang xem: Bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường


Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số và những trục tọa độ

Nếu hàm số (y=f(x)) tiếp tục trên đoạn () thì diện tích s (S) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số (y=f(x)), trục hoành và hai tuyến phố thẳng (x=a , x=b ) là :

(S=int_a^b |f(x)|dx)

Ví dụ:

Tính diện tích ( S ) của hình phẳng số lượng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số ( y=x^3 -x ) , con đường thẳng ( x=2 ), trục tung với trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung có phương trình tọa độ là ( x=0 ) nên vận dụng công thức nêu bên trên ta có :

(S=int_0^2 |x^3-x|dx)

Vì (left{eginmatrix x^3-x leq 0 hspace5mm forall hspace5mm 0 leq x leq 1\ x^3-x geq 0 hspace5mm forall hspace5mm 1 leq x leq 2 endmatrix ight.)

Nên ta gồm :

(S = int_0^1(x-x^3)dx + int_1^2 (x^3-x)dx)

(S = (fracx^22-fracx^44) igg|_0^1 + (fracx^44-fracx^22) igg|_1^2)

(S = frac14 + frac94 =frac52) (đvdt)

Công thức tổng thể tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật thị 

Công thức tìm diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi ( y=f(x) ) , ( y=g(x) ) liên tiếp trên ( ) và hai tuyến đường thẳng ( x=a ) , ( x=b ) :

(S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx)

Ví dụ:

Tìm diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi thiết bị thị nhì hàm số ( y= x^2+2 ) và ( y = 3x )

Cách giải:

Đầu tiên, ta vẫn hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng phương pháp giải phương trình :

( x^2 +2 =3x )

(Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x=1\ x=2 endmatrix ight.)

Vậy hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi đồ thị của nhì hàm số ( y= x^2+2 ) , ( y = 3x ) và hai tuyến đường thẳng ( x=1 ) , ( x=2 )

Áp dụng cách làm trên ta có:

(S= int_1^2 | x^2-3x+2|dx)

(=int_1^2(3x-x^2-2)dx)

(=(frac3x^22 -fracx^33 -2x) igg|_1^2=frac16) (đvdt)

Công thức tính diện tích hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán để ra: Tính diện tích s hình phẳng (S) được số lượng giới hạn bởi thứ thị bố hàm số : (y=f(x) ;y=g(x); y=h(x))

*

Các bước làm như sau:

Bước 2: diện tích hình phẳng (S) sẽ tiến hành tính theo công thức :

(S = int_x_1^x_2|u(x)|dx + int_x_2^x_3 |v(x)| dx)

Với (u(x)) là hàm số của phương trình kiếm tìm ( x_1 )

( v(x) ) là hàm số của phương trình tìm kiếm ( x_2 ) 

 Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng S được số lượng giới hạn bởi cha hàm số : ( y= 3^x ) , ( y= 4-x ) , ( y=1 )

Cách giải:

Ta kiếm tìm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

(left{eginmatrix 3^x = 4-x Rightarrow x=1\ 3^x =1 Rightarrow x=0 \ 4-x = 1 Rightarrow x=3 endmatrix ight.)

Vậy vận dụng công thức trên ta gồm :

(S= int_0^1|3^x -1 |dx + int_1^3 |4-x-1|dx)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3)

(= (frac3^xln 3-x) igg |_0^1 + (3x-fracx^22)igg |_1^3 =frac2ln 3+1) (đvdt)

Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị số lượng giới hạn bởi parabol và mặt đường thẳng

Cho Parabol ( y = ax^2 + bx +c ) với ( b^2-4ac >0 ). Lúc đó diện tích s hình phẳng ( S ) được số lượng giới hạn bởi đồ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :

(S=int_x_1^x_2(ax^2+bx+c)dx)

Với ( x_1;x_2 ) là nhị nghiệm của Parabol

Bằng cách chuyển đổi đơn giản áp dụng định lí Vi-ét, từ công thức trên ta sẽ sở hữu được :

(S^2=frac(b^2-4ac)^336a^4) tốt (S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2)

Công thức này thường xuyên được áp dụng trong những bài toán trắc nghiệm yêu thương cầu giám sát và đo lường nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích s hình phẳng ( S ) được giới hản do Parabol ( y=x^2-5x +6 ) với trục hoành

Cách giải:

Áp dụng bí quyết trên cùng với ( a=1 : b= -5 ; c=6 ) ta có:

(S=frac(b^2-4ac)sqrtb^2-4ac6a^2 = frac16) (đvdt)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta bắt buộc vẽ hình sơ cỗ để dìm diện được hình phẳng nên tính diện tích s rồi kế tiếp sử dụng những công thức cơ bản nêu bên trên để giám sát thích hợp.

Chú ý: với dạng bài này khi bắt buộc tính tích phân họ sẽ phải sử dụng cách thức đổi biến số để tính được tích phân bắt buộc tìm. 

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng ( S ) được giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và đường tròn (x^2 + y^2 =8)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và con đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

(left{eginmatrix y=sqrt2x\ x^2+y^2=8 endmatrix ight.) cùng với ( x geq 0 )

(Rightarrow x^2+2x-8=0 Rightarrow (x-2)(x+4)=0)

(Rightarrow left<eginarrayl x=2 \ x=-4 endarray ight.)

Vì ( x geq 0 ) buộc phải ( x=2 )

Hoành độ giao điểm của mặt đường tròn và trục hoành là vấn đề (x= 2sqrt2) với (x= -2sqrt2)

Qua hình vẽ ta thấy ( S ) được chia làm hai phần gồm:

( S_1 ) là phần tô color vàng

( S_2 ) là phần tô màu đỏ

( S= S_1 + S_2 )

*

( S_1 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi Parabol (y= sqrt2x) và hai đường thẳng ( x=0 ; x=2 ) . Vậy

(S_1 = 2int_0^2sqrt2x hspace2mm dx = 2.

Xem thêm: ( Đã Dùng) Sò Nóng Lạnh Công Suất Lớn, Sò Nóng Lạnh Là Gì



Xem thêm: Nơi Bán Thang Chữ A Inox Hòa Phát 2 5M, Thang Inox Chữ A 2,5M

frac2sqrt23 xsqrtx igg |_0^2 =frac83)

( S_2 ) là hình phẳng được số lượng giới hạn bởi mặt đường tròn (x^2 + y^2 =8) và hai đường thẳng (x=2 ; x=2sqrt2). Vậy

(S_2= 2 int_2^2sqrt2 sqrtx^2-8 hspace2mm dx)

Đặt (x= 2sqrt2sin t) với (0 leq t leq fracpi2)

(Rightarrow dx = 2sqrt2 cos t hspace2mmdt)

(Rightarrow S_2 =2 int_fracpi4^fracpi22sqrt2.sqrt8-8 sin ^2 t. cos t hspace2mm dt)

(=16int_fracpi4^fracpi2cos^2t hspace2mm dt)

(=8int_fracpi4^fracpi2 (1+ cos 2t)dt)

(=8(t+fracsin 2t2) igg |_fracpi4^fracpi2 =2pi -4)

Vậy (S=S_1 + S_2 = 2pi + frac43) (đvdt)

Chú ý: Qua những ví dụ bên trên ta nhận biết công thức tính diện tích tổng quát tháo (S=int_a^b |f(x)-g(x)|dx) được thực hiện ở đa số các bài toán. Bởi vậy đây là một phương pháp cơ bạn dạng quan trọng mà bọn họ cần ghi nhớ.

Bài viết trên trên đây của acsregistrars.vn đã giúp đỡ bạn tổng hợp triết lý về những công thức diện tích s hình phẳng bởi tích phân cũng như một số dạng bài bác tập tính diện tích s hình phẳng. Mong muốn những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ mang lại lợi ích cho chúng ta trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!