Bài tập giới hạn hàm số

     

Với phương pháp giải những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có giải mã và bài xích tập trường đoản cú luyện để giúp đỡ học sinh biết cách làm bài tập các dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời các bạn đón xem:


Giới hạn của hàm số và bí quyết giải bài xích tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số trên một điểm:

* số lượng giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K cất điểm x0 . Ta bảo rằng hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L lúc x dần dần tới x0 trường hợp với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L hay f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số

Nhận xét: nếu như f(x) là hàm số sơ cấp khẳng định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới dương vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới âm vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực:

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có giới hạn là L lúc x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là L khi x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có giới hạn dần cho tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương cực kỳ (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài ba định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

*

Chú ý:

- các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí trên ta chỉ áp dụng cho đa số hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho những giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho tía hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm kia không xác định tại x0). Giả dụ g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) phép tắc về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) số lượng giới hạn một bên:

* giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: giả sử hàm số f xác minh trên khoảng tầm x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L lúc dần mang đến x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kể (xn) các số thuộc khoảng chừng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: giả sử hàm số f khẳng định trên khoảng chừng a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L lúc x dần đến x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với đa số dãy bất cứ (xn) đa số số thuộc khoảng chừng (a; x0) nhưng mà lim xn = x0 ta đều sở hữu lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- dấn xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* số lượng giới hạn vô cực:

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phát biểu tương tự như như có mang 1 và khái niệm 2.

- nhấn xét: những định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu cố gắng L vày +∞ hoặc-∞

2. Những dạng bài xích tập

Dạng 1: số lượng giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- nếu như f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng luật lệ về giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ to nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể những hàm kia không xác định tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị ngăn của hàm số f(x) do hai hàm số g(x) với h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta đối chiếu f(x) cùng g(x) làm sao để cho xuất hiện nhân tử bình thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* nếu như f(x) với g(x) là các đa thức thì ta so với f(x) = (x – x0)f1(x) và g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), giả dụ giới hạn này còn có dạng 00thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Chú ý: trường hợp tam thức bậc nhì ax2 + bx + c gồm hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* giả dụ f(x) cùng g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để đưa về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* ví như f(x) cùng g(x) là những hàm đựng căn thức không cùng cấp ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- chia tử và mẫu đến xn cùng với n là số mũ cao nhất của vươn lên là ở chủng loại (Hoặc phân tích các kết quả chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm chứa thay đổi x trong dấu căn thì gửi xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ tối đa của vươn lên là x trong lốt căn), tiếp đến chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- ví như biểu thức chứa vươn lên là số dưới dấu căn thì nhân và phân tách với biểu thức liên hợp

- nếu như biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu mã và đem về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng luật lệ tính giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: kiếm tìm tham số m để hàm số bao gồm giới hạn tại 1 điểm mang đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng nhấn xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 đến trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Kiếm tìm m.

Khi kia với m vừa tìm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 mang lại trước và giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với mức giá trị như thế nào của a thì hàm số đã đến có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của thông số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài bác tập tự luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Xóa Vĩnh Viễn Tài Khoản Google, Youtube, Hướng Dẫn Cách Xóa Triệt Để Tài Khoản Google

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý hiếm của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Bố Cục Bài Bàn Luận Về Phép Học (Nguyễn Thiếp), Bàn Luận Về Phép Học (Nguyễn Thiếp)

ko tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của tham số m để hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.